Giải Mã Bài Toán Kỳ Diệu Của Định Lý Pythagoras: Đột Phá Sau Nhiều Thập Kỷ

Bài toán nổi tiếng với lời giải nặng tới 200 terabyte liệu có thật sự phức tạp đến vậy?

Không ít người trong chúng ta đã từng trải qua những năm tháng học toán từ tiểu học đến trung học chỉ để phải đối mặt với môn toán ở cấp độ cao hơn khi vào đại học. Nếu bạn từng nghĩ rằng các bài tập về nhà là khó khăn thì hãy xem xét bài toán này, mà để giải quyết nó, cần đến sự hỗ trợ của ba nhà toán học cùng với sức mạnh của một siêu máy tính, và tất cả chỉ để chứa lời giải nặng tới 200 terabyte!

Có thể bạn không biết, mỗi terabyte có khả năng lưu trữ khoảng 337.920 bản sao của cuốn tiểu thuyết Chiến tranh và Hòa Bình của Lev Tolstoi, bộ tiểu thuyết dài nhất trong lịch sử, vậy thì 200 terabyte sẽ chứa một khối lượng chữ viết khổng lồ.

Bài toán này đã gây ra không ít băn khoăn cho các nhà toán học và nó thực sự liên quan đến định lý Pythagoras, lần đầu tiên được đưa ra bởi giáo sư Ronald Graham vào những năm 1980. Được biết đến với tên gọi Biến số đúng sai của bộ ba số nguyên dương Pythagoras (Boolean Pythagorean Triples), bài toán này đã khiến Graham treo giải thưởng 100 USD cho người nào có thể giải quyết được nó.

Bài toán tập trung vào công thức định lý Pythagoras: a² + b² = c², trong đó a và b là hai cạnh vuông góc của tam giác vuông, còn c là cạnh huyền.

Công thức của định lý Pythagoras.

Có lý do cho tên gọi của bài toán này:

Boolean là biến có giá trị đúng hoặc sai.

Còn Pythagorean Triples đề cập đến các bộ số nguyên dương mà khi áp dụng vào công thức của Pythagoras, sẽ cho ra kết quả chính xác như: 3² + 4² = 5²; 8² + 15² = 17². Chúng được gọi là Bộ ba số nguyên dương Pythagoras.

Bạn hãy tưởng tượng mọi số nguyên dương sẽ được tô màu đỏ hoặc xanh. Graham đã đặt ra câu hỏi rằng liệu có khả thi không khi tô màu mọi số nguyên bằng hai màu sao cho không có Bộ ba Pythagoras nào có cùng màu? Ai giải được bài toán đó sẽ nhận phần thưởng 100 USD (với số tiền đó bạn có thể đảm bảo một ổ cứng 1 terabyte).

Ronald Graham, người thầy đã giao cho chúng ta bài toán mà mãi hàng thập kỷ sau mới có thể giải được.

Khó khăn của bài toán nằm ở chỗ rằng: một số nguyên dương có thể xuất hiện trong nhiều Bộ Ba Pythagoras khác nhau. Ví dụ, số 5 xuất hiện trong dãy 3-4-5 là một Bộ Ba Pythagoras, nhưng nó cũng có mặt trong dãy 5-12-13. Nếu số 5 trong dãy đầu tiên được tô màu xanh, thì trong dãy thứ hai nó cũng phải là màu xanh, do đó số 12 và 13 sẽ phải mang màu đỏ.

Khi tiếp cận sâu hơn đến các điều kiện mà Graham đã đề ra, các con số ngày càng lớn hơn và vấn đề bắt đầu xảy ra. Nếu số 12 phải mang màu đỏ trong dãy 5-12-13, thì bất kỳ dãy số nào sau đó chứa số 12 cũng sẽ bắt buộc phải có màu đó.

Ba nhà toán học nổi tiếng, Marijn Heule từ Đại học Texas, Victor Marek từ Đại học Kentucky và Oliver Kullmann từ Đại học Swansea tại Anh đã hợp tác để tìm ra lời giải cho vấn đề này. Họ đã cài đặt nhiều phép thử và kỹ thuật tính toán vào trong siêu máy tính Stampede tại Đại học Texas, giúp thu hẹp lại phạm vi “tô màu” xuống còn 102.300 tỷ tỷ khả năng (tức là 102.300.000.000.000.000.000).

Dàn siêu máy tính Stampede được sử dụng để giải bài toán khó này.

Bộ siêu máy tính với 800 vi xử lý mạnh mẽ đã cần đến 2 ngày để hoàn thành các phép thử, và chỉ có thể khả thi cho đến con số 7.824. Bắt đầu từ 7.825 trở đi thì không thể thỏa mãn điều kiện mà Graham đã đặt ra.

Cuối cùng, ba nhà toán học cùng với sự trợ giúp của siêu máy tính đã giải quyết được bài toán đã tồn tại suốt hàng thập kỷ qua. Ronald Graham đã giữ lời hứa và thưởng “hậu hĩnh” số tiền 100 USD cho ba nhà toán học này.

“Bộ ba nguyên tử” của họ đã tạo ra một tài liệu nén 68 gigabyte mà bất cứ ai có bộ vi xử lý đủ mạnh và 30.000 giờ rảnh rỗi cũng có thể tải về, tái lập và xác minh bài toán. Nhưng nếu bạn thực sự có 30.000 giờ rảnh rỗi, thì vẫn còn một vấn đề lớn: con người không thể đọc được những dòng thuật toán đó.

Thực tế, cả ba đã phải nhờ đến một chương trình máy tính khác để kiểm chứng lại kết quả của họ, và cuối cùng, 7.824 là con số chính xác. Ronald Graham cũng cảm thấy hài lòng khi xác minh con số này.

Các số từ 1 cho tới 7,824 có thể được tô màu bởi chúng thỏa mãn điều kiện của Graham đưa ra. Nhưng từ 7,825 trở đi, không có số nào thỏa mãn cả.

Dù nhiều người cho rằng việc con người không thể đọc được kết quả là một yếu tố không thuyết phục, nhưng không ai có thể phủ nhận rằng bài toán đã mở ra nhiều vấn đề lý thú. Tại sao bắt đầu từ số 7.825 trở đi lại không thể thực hiện việc “tô màu”? Chúng ta vẫn chưa có lời giải thích cho điều này, mà chỉ biết rằng đó là kết quả của siêu máy tính.

Bài toán đặt ra một câu hỏi lớn về khả năng giải quyết vấn đề toán học trong tương lai: làm thế nào mà chúng ta có thể hiểu được ý nghĩa của các con số khi mà công nghệ máy tính ngày càng thịnh hành như vậy?

Để hiểu rõ hơn về cuộc khủng hoảng tài nguyên cát đang đe dọa đến cuộc sống của chúng ta, bạn có thể đọc thêm bài viết về Tài Nguyên Cát: Nguy Cơ Cạn Kiệt Đang Rình Rập Nhân Loại. Bài viết này sẽ giúp bạn khám phá những tác động của việc khai thác cát đến môi trường và tương lai của trái đất.

Nếu bạn quan tâm đến tâm lý học và tính cách con người, hãy tìm hiểu thêm trong bài viết Khám Phá Tính Cách Hướng Nội và Hướng Ngoại: Những Điều Chưa Từng Được Tiết Lộ. Bài viết này mở rộng thêm những khía cạnh thú vị ít người biết về tính cách và tâm lý con người.

Ngoài ra, bạn cũng có thể khám phá câu chuyện thú vị về Câu Chuyện Kỳ Bí Về William I: Những Di sản Để Lại Sau Cái Chết Đầy Thú Vị. Câu chuyện có nhiều tình tiết ly kỳ và hấp dẫn, giúp bạn hiểu thêm về vị vua lịch sử này.